\qquad Определить наличие таких компонент можно следующим образом.
Если автокорреляционная функция затухает на бесконечности (по
синусоиде или экспоненте), то ряд стационарный, и тренда нет. Если
же затухания не наблюдается, то ряд нестационарный, и скорей всего
мы имеем дело с трендом. На глаз заметить тренд не всегда легко.
Если ряд колеблется вблизи линейной функции, то это видно.
Колебания около синусоиды заметить значительно сложнее.
\\

\paragraph{Взятие разностей} Наиболее общим способом избавления от тренда является взятие
разностей. Первые разности удаляют линейный тренд, вторые -
квадратичный и т.д. Рассмотрим линейный тренд: $$ tr_t =
b_0+b_1t$$ Процесс выглядит так: $$ Y_t = tr_t + X_t
$$
Возьмем первые разности: $$ \nabla Y_t = Y_t - Y_{t-1} =
b_0+b_1t+X_t - b_0-b_1(t-1)-X_{t-1} = b_1 + X_t - X_{t-1}.
$$
Пришли к АР, избавились от тренда, при этом процесс, конечно же,
поменялся.
\\

Порядок действий такой. Взять первые разности, посмотреть
автокорреляционную функцию. Если она убывает, то тренд скорей
всего линейный. Если нет, то нужно взять вторые разности,
посмотреть автокорреляционную функцию. Если она затухает на
бесконечности, то мы имеем дело с квадратичным трендом. Третьи
разности брать не имеет смысла, так как обычно статистика третьи
разности не учитывает. Если автокорреляционная функция не стала
убывать после взятия двух разностей, то следует применять другие
методы.
\\

Мы рассмотрели непараметрическую модель тренда. Точно сказать,
какой тренд мы удалили, нельзя. Взяв первые разности, например,
можно избавиться от линейного тренда или от какого-то другого,
может уйти и циклическая компонента. Следующий метод используется
в основном для удаления как раз циклической компоненты.
\\

\paragraph{Метод Скользящих Средних} Производится некое
сглаживание. Выбирается окно размером $(2d+1)$
$$\underbrace{X_0,\ldots,X_{2d}}_{2d+1},\ldots, X_n$$
и выбираются $(2d+1)$ коэффициентов, удовлетворяющих условию $$
\sum_{i=-d}^{d}a_i=1.$$ При этом положительность коэффициентов не
требуется. Всю группу заменяем на $$ Z_d =
\sum_{i=0}^{2d}a_{i-d}X_i$$ Далее окно сдвигается на $1$ влево и
заменяем следующую группу: $$ Z_{d+1} = \sum_{i=
1}^{2d+1}a_{i-d-1}X_{i}$$ Продолжаем процесс. При этом $t-$ый
элемент получающегося ряда выглядит так: $$ Z_t =
\sum_{i=t-d}^{t+d}a_{i-t}X_i, \; d\le t\le n-d
$$
Ряд короче исходного на размер окна. Коэффициенты определяются
размером окна и на основе анализа всего рынка. Они не специфичны
для конкретного ряда, а получаются из анализа нескольких рядов в
сходных условиях. Например, при $d=3$ коэффициенты выглядят так:
$$ -\frac{2}{21}, \;\frac{3}{21}, \;\frac{6}{21}, \;\frac{7}{21}, \;\frac{6}{21}, \;\frac{3}{21}, \;-\frac{2}{21}. $$
\\

Следует иметь в виду, что при применении метода Скользящих Средних
может сказаться эффект Слуцкого-Юла: включение в ряд
псевдопериодической составляющей низкой частоты.
\\

Метод Скользящих Средних - это также непараметрическая модель.
\\

\paragraph{Параметрические модели тренда}
\begin{enumerate}
    \item Линейная: $tr_t = b_0 + b_1t;$
    \item Полиномиальная: $tr_t = b_0 + b_1t+
    \ldots + b_pt^p;$
    \item $tr_t = \exp{(|b_0 + b_1t |)}$ Эта модель
    применяется для данных, имеющих тенденцию постоянного темпа
    роста;
    \item Логистическая: $tr_t = \frac{a}{1+be^{-ct}}$
    \item Гомгерца: $\log tr_t = a - br^t, \; 0<r<1.$
\end{enumerate}
Последние две модели могут быть использованы для удаления плавных
интервенций. Обе функции ведут себя так: сначала постепенный рост,
затем быстрый рост, затем опять постепенный рост.
\\

Параметры моделей подбираются из минимизации в среднем
квадратичном. Пусть, например, остаток ряда после удаления тренда
- независимые и нормально распределенные случайные величины. Если
$tr_t = b_0 + b_1t+ \ldots + b_pt^p, $ обозначим вектор параметров
$b = (b_0, \ldots, b_p), \; T_t = (1, \ldots, t^p).$ Тогда
уравнения для нахождения параметров запишется так: $$ Ab' = C,$$
$$\; \mbox{где} \; A = \sum_{t=1}^{n}T_t'T_t, \; C =
\sum_{i=1}^{n}Y_tT_t'$$
\\

Цель предварительного анализа состоит в том, чтобы сделать ряд
стационарным. Автокорреляционная функция должна затухать. Мы
сначала определяем интервенцию, потом пытаемся удалить тренд. Если
при этом не уходит циклическая компонента, то используем метод
Скользящих Средних.
\\
